Theano學習筆記（四）――導數
來源：程序員人生 發布時間：2014-09-08 19:52:23 閱讀次數：2260次
導數使用T.grad計算。
這里使用pp()打印梯度的符號表達式。
第3行輸出是打印了經過優化器簡化的符號梯度表達式，與第1個輸出相比確實簡單多了。
fill((x** TensorConstant{2}), TensorConstant{1.0})指創建一個x**2大小的矩陣，并填充1。
importtheano.tensor as T
fromtheano import pp
fromtheano import function
x= T.dscalar('x')
y= x ** 2
gy= T.grad(y, x)
printpp(gy)
f= function([x], gy)
printf(4)
printpp(f.maker.fgraph.outputs[0])
>>>
((fill((x** TensorConstant{2}), TensorConstant{1.0}) * TensorConstant{2}) * (x **(TensorConstant{2} - TensorConstant{1})))
8.0
(TensorConstant{2.0}* x)
T.grad的第1個參數必須是標量
例如計算邏輯函數sigmoid的導數：
}}{{dx}} = sleft( x
ight) cdot left( {1 - sleft( x
ight)}
ight))
importtheano.tensor as T
fromtheano import function
x= T.dmatrix('x')
s= T.sum(1 / (1 + T.exp(-x)))
gs= T.grad(s, x)
dlogistic= function([x], gs)
printdlogistic([[0, 1], [-1, -2]])
>>>
[[0.25 0.19661193]
[ 0.19661193 0.10499359]]
計算雅克比（Jacobian）矩陣
雅克比矩陣是向量的一階偏導數：
用T.arrange生成從0到y.shape[0]的序列。循環計算。
scan可以提高創建符號循環效率。
lambda~是python內建的magicfunction.
x= T.dvector('x')
y = x ** 2
J, updates = theano.scan(lambdai, y,x : T.grad(y[i], x), sequences=T.arange(y.shape[0]), non_sequences=[y,x])
f = function([x], J,updates=updates)
f([4, 4])
>>>
[[ 8. 0.]
[ 0. 8.]]
計算海森（Hessian）矩陣
海森矩陣是多元函數的二階偏導數方陣。
 = left[ {egin{array}{*{20}{c}}{frac{{{partial ^2}f}}{{partial x_1^2}}}&{frac{{{partial ^2}f}}{{partial {x_1}partial {x_2}}}}& cdots &{frac{{{partial ^2}f}}{{partial {x_1}partial {x_n}}}}{frac{{{partial ^2}f}}{{partial {x_2}partial {x_1}}}}&{frac{{{partial ^2}f}}{{partial x_2^2}}}& cdots &{frac{{{partial ^2}f}}{{partial {x_2}partial {x_n}}}} vdots & vdots & ddots & vdots {frac{{{partial ^2}f}}{{partial {x_n}partial {x_1}}}}&{frac{{{partial ^2}f}}{{partial {x_n}partial {x_2}}}}& cdots &{frac{{{partial ^2}f}}{{partial x_n^2}}}end{array}}
ight])
只要用T.grad(cost,x)替換雅克比矩陣的一些y即可。
x= T.dvector('x')
y = x** 2
cost= y.sum()
gy =T.grad(cost, x)
H,updates = theano.scan(lambda i, gy,x : T.grad(gy[i], x),sequences=T.arange(gy.shape[0]), non_sequences=[gy, x])
f =function([x], H, updates=updates)
f([4,4])
>>>
[[2. 0.]
[ 0. 2.]]
雅克比右乘
x可以由向量擴展成矩陣。雅克比右乘使用Rop:
W = T.dmatrix('W')
V =T.dmatrix('V')
x =T.dvector('x')
y =T.dot(x, W)
JV =T.Rop(y, W, V)
f =theano.function([W, V, x], JV)
printf([[1, 1], [1, 1]], [[2, 2], [2, 2]], [0,1])
>>>
[2. 2.]
雅克比左乘
雅克比左乘使用Lop:
}}{{partial x}}v)
import theano
import theano.tensor as T
from theano import function
x = T.dvector('x')
v =T.dvector('v')
x =T.dvector('x')
y =T.dot(x, W)
VJ =T.Lop(y, W, v)
f =theano.function([v,x], VJ)
print f([2, 2], [0, 1])
>>>
[[0. 0.]
[ 2. 2.]]
海森矩陣乘以向量
可以使用Rop
}}{{partial x}})
import theano
import theano.tensor as T
from theano import function
x= T.dvector('x')
v= T.dvector('v')
y= T.sum(x ** 2)
gy= T.grad(y, x)
Hv= T.Rop(gy, x, v)
f= theano.function([x, v], Hv)
printf([4, 4], [2, 2])
>>>
[4. 4.]
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