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POJ 3260 The Fewest Coins(多重背包+完全背包)

來源:程序員人生   發布時間:2014-11-21 08:18:57 閱讀次數:2709次

POJ 3260 The Fewest Coins(多重背包+完全背包)

http://poj.org/problem?id=3260

題意:

      John要去買價值為m的商品. 現在的貨幣系統有n種貨幣,對應面值為val[1],val[2]…val[n]. 然后他身上每種貨幣有num[i]個. John必須付給售貨員>=m的金錢, 然后售貨員會用最少的貨幣數量找錢給John.

問你John的交易進程中, 他給售貨員的貨幣數目+售貨員找錢給他的貨幣數目 的和最小值是多少?

分析:

       本題與POJ 1252類型:

       http://blog.csdn.net/u013480600/article/details/40454963

       假定John付款總額為S時的貨幣數目為T1, 售貨員找錢 (S-m) 的貨幣數目為T2. 我們要使得T1+T2最小, 那末自然T1和T2也必須各自是最小的(T1是當John付款正好S,最少需要多少張貨幣. T2是當售貨員正好找錢S-m,最少需要多少張貨幣.).

       John給的錢肯定>=m, 但是到底最大多大呢? 如果我們直接求John的所有金錢總和, 然后再DP, 肯定超時. 這個up_bound (john最多給售貨員的錢數) 可以簡單設置1個大數值便可. 網上有個證明(這個證明我也有點不明白):

       John的付款數最多為maxv*maxv+m

       證明以下:

       如果John的付款數大于了maxv*maxv+m,即付硬幣的數目大于了maxv,根據鴿笼原理,最少有兩個的和對maxv取模的值相等(這個意思應當是:最少maxv+1個硬幣對maxv求余,然后余數屬于[0,maxv⑴]范圍,肯定有最少兩個硬幣的余數相同的),也就是說,這部份硬幣能夠用更少的maxv來代替(這句話我不理解)。證畢。

 

       第1個問題是1個多重背包問題.

       令dp[i][j]==x 表示當John用前i種貨幣組成j元錢時, 最少需要x張貨幣.

       初始化: dp全為INF(無窮大), 且dp[0][0]=0.

       對每種貨幣, 我們分情況對它進行處理:

       1.    如果val[i]*num[i]>=up_bound時, 做1次完全背包.

       2.    如果val[i]*num[i]<up_bound時, 做屢次01背包.

       終究所求: dp[n][i] 其中i屬于[m, up_bound].

 

       第2個問題是1個完全背包問題.

       令dp2[i][j]==x 表示售貨員用前i種硬幣組成j元錢時, 最少需要x張貨幣.

       初始化: dp2全為INF(無窮大), 且dp2[0][0]=0.

       狀態轉移: dp2[i][j] = max( dp2[i⑴][j] , dp2[i][j-val[i]]+1 )

       終究所求: dp2[n][i] 其中i屬于[m, up_bound].

 

       終究合并問題1和問題2的解, 我們枚舉i從m到up_bound, 找出dp[i]+dp2[i-m]的最小值便可.

AC代碼:

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; #define INF 1e9 int n;//n種硬幣 int m;//購買商品的價值 int up_bound;//DP價值上界 int val[100+5];//每種硬幣價值 int num[100+5];//每種硬幣數目 int dp[55555]; //多重背包 int dp2[55555];//完全背包 //1次01背包 void ZERO_ONE_PACK(int *dp,int cost,int sum) { for(int i=up_bound;i>=cost;i--) dp[i] = min(dp[i], dp[i-cost]+sum);//注意這里是+sum } //1次完全背包 void COMPLETE_PACK(int *dp,int cost) { for(int i=cost;i<=up_bound;i++) dp[i] = min(dp[i], dp[i-cost]+1); } //1次多重背包 void MULTIPLY_PACK(int *dp,int cost,int sum) { if(cost*sum>=up_bound) { COMPLETE_PACK(dp,cost); return ; } int k=1; while(k<sum) { ZERO_ONE_PACK(dp,cost*k,k); sum -=k; k *=2; } ZERO_ONE_PACK(dp,cost*sum,sum); } int main() { while(scanf("%d%d",&n,&m)==2) { //讀取輸入+計算上界 int max_val=0; for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&val[i]); max_val= max(max_val,val[i]); } for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&num[i]); up_bound=max_val*max_val+m;//上界 //初始化dp和dp2 for(int i=1;i<=up_bound;i++) dp[i]=dp2[i]=INF; dp[0]=dp2[0]=0; //遞推進程 for(int i=1;i<=n;i++) { MULTIPLY_PACK(dp,val[i],num[i]); COMPLETE_PACK(dp2,val[i]); } //統計結果 int ans=INF; for(int i=m;i<=up_bound;i++) ans= min(ans, dp[i]+dp2[i-m]); printf("%d ",ans==INF?⑴:ans); } return 0; }

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