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Stanford機器學習課程筆記1-Linear Regression與Logistic Regression

來源：程序員人生發布時間：2015-04-13 08:05:55 閱讀次數：4073次

轉載請注明出處: http://xiahouzuoxin.github.io/notes/

課程計劃
Linear Regression與預測問題Locally Weighted Linear Regression
Logistic Regression與分類問題特點映照與過擬合(over-fitting)

Stanford機器學習課程的主頁是： http://cs229.stanford.edu/

課程計劃

主講人Andrew Ng是機器學習界的大牛，創辦最大的公然課網站coursera，前段時間還聽說加入了百度。他講的機器學習課程可謂每一個學計算機的人必看。全部課程的大綱大致以下：

Introduction (1 class) Basic concepts.
Supervised learning. (6 classes) Supervised learning setup. LMS. Logistic regression. Perceptron. Exponential family. Generative learning algorithms. Gaussian discriminant analysis.
Naive Bayes. Support vector machines. Model selection and feature selection. Ensemble methods: Bagging, boosting, ECOC.
Learning theory. (3 classes) Bias/variance tradeoff. Union and Chernoff/Hoeffding bounds. VC dimension. Worst case (online) learning. Advice on using learning algorithms.
Unsupervised learning. (5 classes) Clustering. K-means. EM. Mixture of Gaussians. Factor analysis. PCA. MDS. pPCA. Independent components analysis (ICA).
Reinforcement learning and control. (4 classes) MDPs. Bellman equations. Value iteration. Policy iteration. Linear quadratic regulation (LQR). LQG. Q-learning. Value function approximation. Policy search. Reinforce. POMDPs.

本筆記主要是關于Linear Regression和Logistic Regression部份的學習實踐記錄。

Linear Regression與預測問題

舉了1個房價預測的例子，

Area(feet^2)	#bedrooms	Price(1000$)
2014	3	400
1600	3	330
2400	3	369
1416	2	232
3000	4	540
3670	4	620
4500	5	800

Assume：房價與“面積和臥室數量”是線性關系，用線性關系進行放假預測。因此給出線性模型， h_θ(x)?=?∑θ^Tx ，其中 x?=?[x₁,?x₂] , 分別對應面積和臥室數量。為得到預測模型，就應當根據表中已有的數據擬合得到參數 θ 的值。課程通過從幾率角度進行解釋（主要用到了大數定律即“線性擬合模型的誤差滿足高斯散布”的假定，通過最大似然求導就可以得到下面的表達式）為何應當求解以下的最小2乘表達式來到達求解參數的目的，

$J( heta)=frac{1}{2}sum_{i=1}^{m}(y_i-h_{ heta}(x_i))^2$

上述 J(θ) 稱為cost function，通過 minJ(θ) 便可得到擬合模型的參數。

解 minJ(θ) 的方法有多種，包括Gradient descent algorithm和Newton's method，這兩種都是運籌學的數值計算方法，非常合適計算機運算，這兩種算法不但合適這里的線性回歸模型，對非線性模型以下面的Logistic模型也適用。除此以外，Andrew Ng還通過線性代數推導了最小均方的算法的閉合數學情勢，

$heta=(X^TX)^{-1}X^Told{y}$

Gradient descent algorithm履行進程中又分兩種方法：batch gradient descent和stochastic gradient descent。batch gradient descent每次更新 θ 都用到所有的樣本數據，而stochastic gradient descent每次更新則都僅用單個的樣本數據。二者更新進程以下：

batch gradient descent
$heta_j:= heta_j+alphasum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-h_{ heta}(x^{(i)}))x_j^{(i)}$
stochastic gradient descent
for i=1 to m
$heta_j:= heta_j+alpha(y^{(i)}-h_{ heta}(x^{(i)}))x_j^{(i)}$

二者只不過1個將樣本放在了for循環上，1者放在了。事實證明，只要選擇適合的學習率 α , Gradient descent algorithm總是能收斂到1個接近最優值的值。學習率選擇過大可能造成cost function的發散，選擇太小，收斂速度會變慢。

關于收斂條件，Andrew Ng沒有在課程中提到更多，我給出兩種收斂準則：

J小于1定值收斂
兩次迭代之間的J差值，即|J-J_pre|<1定值則收斂

下面是使用batch gradient descent擬合上面房價問題的例子，

clear all;
clc

%% 原數據
x = [2014, 1600, 2400, 1416, 3000, 3670, 4500;...
    3,3,3,2,4,4,5;];
y = [400 330 369 232 540 620 800];

error = Inf;
threshold = 4300;
alpha = 10^(-10);
x = [zeros(1,size(x,2)); x];  % x0 = 0，擬合常數項
theta = [0;0;0]; % 常數項為0
J = 1/2*sum((y-theta'*x).^2);
costs = [];
while error > threshold
    tmp = y-theta'*x;
    theta(1) = theta(1) + alpha*sum(tmp.*x(1,:));
    theta(2) = theta(2) + alpha*sum(tmp.*x(2,:));
    theta(3) = theta(3) + alpha*sum(tmp.*x(3,:));
%     J_last = J;
    J = 1/2*sum((y-theta'*x).^2);
%     error = abs(J-J_last);
    error = J;
    costs =[costs, error];
end

%% 繪制
figure,
subplot(211);
plot3(x(2,:),x(3,:),y, '*');
grid on;
xlabel('Area');
ylabel('#bedrooms');
zlabel('Price(1000$)');

hold on;
H = theta'*x;
plot3(x(2,:),x(3,:),H,'r*');

hold on
hx(1,:) = zeros(1,20);
hx(2,:) = 1000:200:4800;
hx(3,:) = 1:20;
[X,Y] = meshgrid(hx(2,:), hx(3,:));
H = theta(2:3)'*[X(:)'; Y(:)'];
H = reshape(H,[20,20]);
mesh(X,Y,H);

legend('原數據', '對原數據的擬合', '擬合平面');

subplot(212);
plot(costs, '.-');
grid on
title('error=J(	heta)的迭代收斂進程');
xlabel('迭代次數');
ylabel('J(	heta)');

擬合及收斂進程以下：

不論是梯度降落，還是線性回歸模型，都是工具！！分析結果更重要，從上面的擬合平面可以看到，影響房價的主要因素是面積而非臥室數量。

很多情況下，模型其實不是線性的，比如股票隨時間的漲跌進程。這類情況下， h_θ(x)?=?θ^Tx 的假定不再成立。此時，有兩種方案：

建立1個非線性的模型，比如指數或其它的符合數據變化的模型
局部線性模型，對每段數據進行局部建立線性模型。Andrew Ng課堂上講授了Locally Weighted Linear Regression，即局部加權的線性模型

Locally Weighted Linear Regression

$J( heta)=frac{1}{2}sum_{i=1}^{m}w^{(i)}(y^{(i)}-h_{ heta}(x^{(i)}))^2$

其中權值的1種好的選擇方式是：

$w^{(i)}=old{exp}(-frac{(x^{(i)}-x)^2}{2 au^2})$

Logistic Regression與分類問題

Linear Regression解決的是連續的預測和擬合問題，而Logistic Regression解決的是離散的分類問題。兩種方式，但本質殊途同歸，二者都可以算是指數函數族的特例。

在分類問題中，y取值在{0,1}之間，因此，上述的Liear Regression明顯不適應。修改模型以下

$h_{ heta}(x)=g( heta^Tx)=frac{1}{1+old{e}^{- heta^Tx}}$

該模型稱為Logistic函數或Sigmoid函數。為何選擇該函數，我們看看這個函數的圖形就知道了，

Sigmoid函數范圍在[0,1]之間，參數 θ 只不過控制曲線的峻峭程度。以0.5為截點，>0.5則y值為1，< 0.5則y值為0，這樣就實現了兩類分類的效果。

假定 P(y?=?1|x;?θ)?=?h_θ(x) ， P(y?=?0|x;?θ)?=?1???h_θ(x) , 寫得更緊湊1些，

$P(y|x; heta)=(h_{ heta}(x))^y(1-h_{ heta}(x))^{1-y}$

對m個訓練樣本，使其似然函數最大，則有

$old{max}L( heta)=old{max}prod_{i=1}{m}(h_{ heta}(x^{(i)}))^y^{(i)}(1-h_{ heta}(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}}$

一樣的可以用梯度降落法求解上述的最大值問題，只要將最大值求解轉化為求最小值，則迭代公式1模1樣，

$old{min}J( heta)=old{min}{-logold{L}( heta)}$

最后的梯度降落方式和Linear Regression1致。我做了個例子（數據集鏈接），下面是Logistic的Matlab代碼，

function Logistic

clear all;
close all
clc

data = load('LogisticInput.txt');
x = data(:,1:2);
y = data(:,3);

% Plot Original Data
figure,
positive = find(y==1);
negtive = find(y==0);
hold on
plot(x(positive,1), x(positive,2), 'k+', 'LineWidth',2, 'MarkerSize', 7);
plot(x(negtive,1), x(negtive,2), 'bo', 'LineWidth',2, 'MarkerSize', 7);

% Compute Likelihood(Cost) Function
[m,n] = size(x);
x = [ones(m,1) x];
theta = zeros(n+1, 1);
[cost, grad] = cost_func(theta, x, y);
threshold = 0.1;
alpha = 10^(⑴);
costs = [];
while cost > threshold
    theta = theta + alpha * grad;
    [cost, grad] = cost_func(theta, x, y);
    costs = [costs cost];
end

% Plot Decision Boundary 
hold on
plot_x = [min(x(:,2))⑵,max(x(:,2))+2];
plot_y = (⑴./theta(3)).*(theta(2).*plot_x + theta(1));
plot(plot_x, plot_y, 'r-');
legend('Positive', 'Negtive', 'Decision Boundary')
xlabel('Feature Dim1');
ylabel('Feature Dim2');
title('Classifaction Using Logistic Regression');

% Plot Costs Iteration
figure,
plot(costs, '*');
title('Cost Function Iteration');
xlabel('Iterations');
ylabel('Cost Fucntion Value');

end

function g=sigmoid(z)
g = 1.0 ./ (1.0+exp(-z));
end

function [J,grad] = cost_func(theta, X, y)
% Computer Likelihood Function and Gradient
m = length(y); % training examples
hx = sigmoid(X*theta);
J = (1./m)*sum(-y.*log(hx)-(1.0-y).*log(1.0-hx));
grad = (1./m) .* X' * (y-hx);
end

判決邊界(Decesion Boundary)的計算是令h(x)=0.5得到的。當輸入新的數據，計算h(x)：h(x)>0.5為正樣本所屬的類，h(x)< 0.5 為負樣本所屬的類。

特點映照與過擬合(over-fitting)

這部份在Andrew Ng課堂上沒有講，參考了網絡上的資料。

上面的數據可以通過直線進行劃分，但實際中存在那末種情況，沒法直接使用直線判決邊界(看后面的例子)。

為解決上述問題，必須將特點映照到高維，然后通過非直線判決界面進行劃分。特點映照的方法將已有的特點進行多項式組合，構成更多特點，

$mapFeature=left[egin{array}{c}1 \ x_1 \ x_2 \ x_1^2 \ x_1x_2 \ x_2^2 end{array} ight]$

上面將2維特點映照到了2階（還可以映照到更高階），這便于構成非線性的判決邊界。

但還存在問題，雖然上面方法便于對非線性的數據進行劃分，但也容易由于高維特性造成過擬合。因此，引入泛化項應對過擬合問題。似然函數添加泛化項后變成，

$J( heta)=sum_{i=1}^{m}[-y^{(i)}log h(x^{(i)})-(1-y^{(i)})log(1-h(x^{(i)}))]+frac{lambda}{2}sum_{j=1}^n heta_j$

此時梯度降落算法產生改變，

$heta_j= heta_j+alphaleft[sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-h_{ heta}(x^{(i)}))x_j^{(i)}-lambda heta_j ight]$

最后來個例子，樣本數據鏈接，對應的含泛化項和特點映照的matlab分類代碼以下：

function LogisticEx2

clear all;
close all
clc

data = load('ex2data2.txt');
x = data(:,1:2);
y = data(:,3);

% Plot Original Data
figure,
positive = find(y==1);
negtive = find(y==0);
subplot(1,2,1);
hold on
plot(x(positive,1), x(positive,2), 'k+', 'LineWidth',2, 'MarkerSize', 7);
plot(x(negtive,1), x(negtive,2), 'bo', 'LineWidth',2, 'MarkerSize', 7);

% Compute Likelihood(Cost) Function
[m,n] = size(x);
x = mapFeature(x);
theta = zeros(size(x,2), 1);
lambda = 1;
[cost, grad] = cost_func(theta, x, y, lambda);
threshold = 0.53;
alpha = 10^(-1);
costs = [];
while cost > threshold
    theta = theta + alpha * grad;
    [cost, grad] = cost_func(theta, x, y, lambda);
    costs = [costs cost];
end

% Plot Decision Boundary 
hold on
plotDecisionBoundary(theta, x, y);
legend('Positive', 'Negtive', 'Decision Boundary')
xlabel('Feature Dim1');
ylabel('Feature Dim2');
title('Classifaction Using Logistic Regression');

% Plot Costs Iteration
% figure,
subplot(1,2,2);plot(costs, '*');
title('Cost Function Iteration');
xlabel('Iterations');
ylabel('Cost Fucntion Value');

end

function f=mapFeature(x)
% Map features to high dimension
degree = 6;
f = ones(size(x(:,1)));  
for i = 1:degree  
    for j = 0:i  
        f(:, end+1) = (x(:,1).^(i-j)).*(x(:,2).^j);
    end  
end
end

function g=sigmoid(z)
g = 1.0 ./ (1.0+exp(-z));
end

function [J,grad] = cost_func(theta, X, y, lambda)
% Computer Likelihood Function and Gradient
m = length(y); % training examples
hx = sigmoid(X*theta);
J = (1./m)*sum(-y.*log(hx)-(1.0-y).*log(1.0-hx)) + (lambda./(2*m)*norm(theta(2:end))^2);
regularize = (lambda/m).*theta;
regularize(1) = 0;
grad = (1./m) .* X' * (y-hx) - regularize;
end

function plotDecisionBoundary(theta, X, y)
%PLOTDECISIONBOUNDARY Plots the data points X and y into a new figure with
%the decision boundary defined by theta
%   PLOTDECISIONBOUNDARY(theta, X,y) plots the data points with + for the 
%   positive examples and o for the negative examples. X is assumed to be 
%   a either 
%   1) Mx3 matrix, where the first column is an all-ones column for the 
%      intercept.
%   2) MxN, N>3 matrix, where the first column is all-ones

% Plot Data
% plotData(X(:,2:3), y);
hold on

if size(X, 2) <= 3
    % Only need 2 points to define a line, so choose two endpoints
    plot_x = [min(X(:,2))-2,  max(X(:,2))+2];

    % Calculate the decision boundary line
    plot_y = (-1./theta(3)).*(theta(2).*plot_x + theta(1));

    % Plot, and adjust axes for better viewing
    plot(plot_x, plot_y)
    
    % Legend, specific for the exercise
    legend('Admitted', 'Not admitted', 'Decision Boundary')
    axis([30, 100, 30, 100])
else
    % Here is the grid range
    u = linspace(-1, 1.5, 50);
    v = linspace(-1, 1.5, 50);

    z = zeros(length(u), length(v));
    % Evaluate z = theta*x over the grid
    for i = 1:length(u)
        for j = 1:length(v)
            z(i,j) = mapFeature([u(i), v(j)])*theta;
        end
    end
    z = z'; % important to transpose z before calling contour

    % Plot z = 0
    % Notice you need to specify the range [0, 0]
    contour(u, v, z, [0, 0], 'LineWidth', 2)
end
end