本文首先介紹了從傅里葉變換到小波變換的發(fā)展史，然后側(cè)重強(qiáng)調(diào)了小波變換的兩種作用——時(shí)頻分析和多分辨率分析，最后講了1下吉布斯效應(yīng)等相干知識(shí)。

小波的發(fā)展歷史與驅(qū)動(dòng)

傅里葉變換

FT（傅里葉變換），通過(guò)將信號(hào)分解成正余弦函數(shù)（把3角函數(shù)當(dāng)作函數(shù)空間的基），將時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)化為頻域信號(hào)。缺點(diǎn)是只適用于安穩(wěn)性信號(hào)，在頻域圖上不能取得對(duì)應(yīng)頻率的時(shí)間信息。

由上圖可以看到，對(duì)頻域成份相同的信號(hào)，即便信號(hào)在時(shí)域上的散布不1樣，F(xiàn)FT變換后的頻域圖卻幾近完全1樣。所以說(shuō)，F(xiàn)FT只可以取得1段信號(hào)整體上包括哪些成份，但是對(duì)各成份出現(xiàn)的時(shí)間并沒(méi)有所知。因此時(shí)域相差很大的信號(hào)FFT以后的頻域圖可能完全相同。

短時(shí)傅里葉變換

STFT（短時(shí)傅里葉變換）添加時(shí)域信息的方法是設(shè)置窗格，認(rèn)為窗格內(nèi)的信號(hào)是安穩(wěn)信號(hào)，對(duì)窗格內(nèi)的信號(hào)分段進(jìn)行FT分析。優(yōu)點(diǎn)是可以取得頻域信息的同時(shí)可以取得時(shí)域信息。缺點(diǎn)是窗格大小很難設(shè)置。

STFT的方法及效果以下圖：

STFT的窗格問(wèn)題以下：

由上面的圖可以看到，窄窗口時(shí)間分辨率高、頻率分辨率低；寬窗口時(shí)間分辨率低，頻率分辨率高。對(duì)時(shí)變的非穩(wěn)態(tài)信號(hào)，高頻合適小窗口，低頻合適大窗口?？墒?strong>STFT的窗口是固定的，因此需要尋求別的方法。

小波變換

WT（小波變換），將傅里葉變換的基給換了—— 將無(wú)窮長(zhǎng)的3角函數(shù)基換成了有限長(zhǎng)的會(huì)衰減的小波基，這樣不但可以獲得頻率，還可以定位到時(shí)間。

傅里葉變換

傅里葉變換，通過(guò)相互正交的3角函數(shù)信號(hào)和原信號(hào)在無(wú)窮上進(jìn)行積分，積分越大表明信號(hào)越類(lèi)似，包括該頻率的3角信號(hào)也就越多。

最后，每個(gè)f值對(duì)應(yīng)了1個(gè)積分值，取得了頻率圖。

小波變換

小波變換的原理類(lèi)似傅里葉變換，只是把3角函數(shù)基換成了小波基。

與傅里葉變換不同，小波變換有兩個(gè)變量：scale和translation。scale控制小波函數(shù)的收縮，其導(dǎo)數(shù)即為頻率，translation控制小標(biāo)函數(shù)的平移，平移量對(duì)應(yīng)時(shí)間。

通過(guò)信號(hào)的伸縮平移，可以得到某種重合情況，這樣積分也會(huì)得到1個(gè)極大值，不同的是，得到頻率成份的同時(shí)，還可以知道該頻率的時(shí)間位置。

最后得到的也是3維的圖象：

3種變換的對(duì)照

傅里葉變換，選擇正弦函數(shù)作為基函數(shù)，然后考察的到的展開(kāi)式的性質(zhì)。
對(duì)小波分析，首先提出想要的性質(zhì)，然后推導(dǎo)出基函數(shù)。

小波變換

離散小波變換

連續(xù)小波變換

小波的多分辨率論述

小波的1個(gè)思想是在時(shí)間和頻率兩個(gè)方面提供有效的局部化，另外一個(gè)中心思想是多分辨率，即信號(hào)的分解是依照不同分辨率的細(xì)節(jié)1層1層進(jìn)行的。

信號(hào)空間

L2(R)平方可積空間，如果函數(shù)g(t)是這個(gè)空間的元素，那末g(t)∈L2。

尺度函數(shù)

對(duì)2維函數(shù)族（構(gòu)成空間的基底）：

對(duì)所有k∈Z，可以張成空間：

如果f(t)∈Vj，那末f(t)可以表示為：

也就是說(shuō)，f(t)可以通過(guò)Vj空間的1組基底表示出來(lái)，并且這個(gè)基底是可以設(shè)置的。j越大，分辨率越高。

多分辨率分析

低分辨率上的信號(hào)，不但可以通過(guò)該低分辨率上的信號(hào)基底組合，還可以通太高分辨率上信號(hào)的基底組合起來(lái)。

尺度函數(shù)φj,k(t)張成了V空間，不同V空間的差空間W由小波函數(shù)ψj,k(t 生活不易，碼農(nóng)辛苦
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